Propuesta didáctica (Función lineal)
Objetivos:
- Reforzar el concepto de proporcionalidad directa e inversa y repasar las propiedades de la función de proporcionalidad y la función afín.
Material necesario:
- Un tablero como el que aparece.
- 12 cartas rojas
- 12 cartas amarillas
- 14 cartas azules
- 8 cartas verdes con preguntas
- Un dado.
Concejos para el docente:
Antes de utilizar el juego en clase, será necesario reproducir un tablero y las 46 tarjetas con preguntas, cada una con el reverso del color correspondiente, para cada grupo. Al ser este un trabajo previo laborioso, sería adecuado plastificar todo, para poder utilizar el material en años sucesivos. También al tratarse de grupos se deberá buscar una forma adecuada para colocar cada grupo alrededor del tablero.
Nivel: 4º, 5° y 6°
Observaciones:
Se presenta un juego con contenidos relacionados con la proporcionalidad, las funciones elementales, función de proporcionalidad, función afín y función de proporcionalidad inversa.
Este juego, con pequeñas modificaciones, aparece en el libro de 5º de Matemáticas, publicado por la Editorial Alhambra Longman (I.S.B.N. 84-205-2698-3 y cuyos autores son Fernando García Fresneda y otros.
Instrucciones:
Para empezar a jugar, cada grupo debe colocar el tablero en el centro de la mesa y el montón de tarjetas de cada color en el lugar correspondiente del mismo color. El juego consiste en recorrer todo el tablero, contestando a las preguntas que se planteen en cada casilla.
Reglas del juego
- Juego para 3 o 4 parejas de alumnos.
- Comienza la pareja que consiga el resultado mayor al arrojar el dado.
- Uno de los integrantes de la primera pareja tira el dado y avanza tantas casillas como puntos haya obtenido.
- Al llegar a una casilla la pareja deberá coger una tarjeta del tipo que se indica en una de sus esquinas, es decir Roja, Amarilla, Azul o Verde y contestar a la pregunta que aparece en ella.
- Si la pareja contesta adecuadamente, se quedará en la casilla. Si no contesta correctamente, regresará a la casilla de la que procede.
Actividad 1
Una función lineal es una expresión y = a x + b, donde a y b son números reales que se denominan constantes, con a distinto de 0. Los términos x e y se denominan variables, x es la variable independiente e y se denomina variable dependiente.
1) Analicen la siguiente situación:
Una empresa que se dedica a la reparación de electrodomésticos cobra $ 15 por la visita domiciliaria, más $ 10 por cada hora de trabajo adicional. Respondan a las siguientes consignas:
a) Planteen una ecuación o fórmula que permita calcular el dinero que debemos pagar (y), en función de las horas trabajadas (x).
b) Representen gráficamente la ecuación propuesta. Para hacerlo, utilicen el programa GeoGebra, instalado en sus equipos portátiles. Utilicen el comando Tabla para obtener una tabla de valores para x e y.
c) Si el técnico permanece 5 horas en el domicilio, ¿cuánto se deberá abonar?
d) Teniendo en cuenta el gráfico, ¿cuánto le cobraría a una persona por haberse acercado a la casa sin haber reparado ningún electrodoméstico?
Actividades
Actividad 2
1) Utilizando el programa GeoGebra, representen las siguientes funciones. Luego, empleando el procesador de textos, contesten las preguntas que aparecen debajo:
a) y + 31 = 3
b) y = 3 x +4
c) y = 3 (x+2)
d) 2 y = 6x + 8
e) 9 y = - 3 x + 18
f) 5 y = (- 5) / (3 x -2)
a) De las rectas graficadas, ¿cuáles son paralelas a la función?
b) ¿Cuáles serían perpendiculares a y = 3 x + 2?
c) ¿Qué valores debe tener la fórmula de una función lineal para que su gráfica sea paralela o perpendicular a otra función?
d) ¿Cómo son las pendientes entre las rectas que son paralelas?
e) ¿Cómo son las pendientes entre las rectas que son perpendiculares?
Actividad de cierre
1) Si una empresa que transporta valijas establece sus tarifas de la siguiente manera: $ 8 por km recorrido y $ 12 por cada valija transportada, ¿cuánto costará trasladarse 100 km con una valija?, ¿y 200 km?
a) Utilizando el procesador de textos, disponible en sus equipos portátiles, armen una tabla, similar a la que se presenta debajo, y complétenla considerando que se lleva una sola valija:
b) Expresen la fórmula de la función que relaciona la distancia en kilómetros (km) y el valor del traslado.
c) Analicen la misma situación pero trasladándose con dos valijas.
d) En un mismo gráfico, y utilizando el programa GeoGebra, representen estas dos situaciones: viajan con una valija y viajan con dos valijas. Analicen lo que sucede con la pendiente de la recta.
e) Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas:
f) Representen gráficamente las ecuaciones planteadas en la tabla anterior.
g) Discutan entre todos qué empresa conviene contratar para gastar menos dinero.
ACTIVIDAD 3
Matías recuerda una discusión mantenida en clase el año anterior, antes del debate abierto que organizaron para el Día de las Américas. Tenían que encargar los afiches para pegar en las paredes, e intentaban determinar cuál debía ser la ampliación que debían encargar de unas postales cuadradas, pequeñas pero muy adecuadas.
a. Expresen el crecimiento del área ocupada por el afiche cuando se encargan fotocopias ampliadas y realicen un gráfico que les permita encontrar rápidamente el valor del área para cualquier ampliación que deseen. (Recuerden que la ampliación al 20%, por ejemplo, significa que el largo, el ancho, la diagonal... resultarán de una longitud mayor en un 20%).
b. Comparen el crecimiento del área del afiche y el crecimiento de su contorno, en relación con la ampliación del lado de la postal.
c. Expresen mediante fórmulas ambos crecimientos y realicen las gráficas cartesianas correspondientes. ¿Cómo se comportan? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian?
ACTIVIDAD 4
Un director de cine quiere rodar la última escena de la película del siguiente modo: un personaje inmóvil ve marchar un barco a lo largo de un río que corre en línea recta y a 40 m de la persona.
a. El director proyecta hacer un largo travelling, manteniendo igualmente enfocados al barco y al personaje, es decir, teniendo siempre a ambos equidistantes de la de la cámara.
b. Dibujen aproximadamente la trayectoria. Para poder dibujar la trayectoria con precisión, se puede buscar su ecuación usando el siguiente sistema de referencia.
Encuentren la ecuación y dibujen la gráfica, destacando la parte que corresponde al problema.
c. Comparen la gráfica con la realizada en a.
d. Si se piensa en la trayectoria de la cámara como un conjunto de puntos ¿Qué condiciones verifican estos últimos? ¿A qué curva conocida pueden asociar la gráfica?
Reflexión
Las funciones consideradas en las actividades anteriores sólo tienen sentido para valores positivos de la variable independiente. ¿Por qué?
En estos casos, han representado “partes” de funciones cuadráticas.
Es posible construir gráficas “completas”, independizándose de los contextos en que han sido planteadas.
Representen esas funciones y puntualicen semejanzas y diferencias entre ellas, analizando las gráficas.
Para investigar
En distintas disciplinas, es posible identificar fenómenos en los que algunas variables se relacionen mediante la función cuadrática.
En Física, por ejemplo, Galileo descubrió que la expresión que relaciona la distancia d que recorre un cuerpo en caída libre en un tiempo t es cuadrática.
Averigüen cuál es dicha expresión y dibujen su gráfica.